Digital Signal Processing 2 Filtering Week2

课程主页：https://www.coursera.org/learn/dsp2

这一讲介绍了Filter Design。

理想滤波器的近似

脉冲截断

• 选择$ \omega_ {c} $
• 计算理想脉冲响应$ h [n] $
• 将$ h [n] $截断为$ \hat {h} [n] $
• $\hat {h} [n] $定义了FIR滤波器

例子：

$$\hat{h}[n]=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\omega_{c} }{\pi} \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega_{c} }{\pi} n\right) & |n| \leq N \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right.$$

Gibbs现象

Gibbs现象是指在截断频率附加的误差为9%左右，和$N$无关，具体如下所示：

计算方法

这部分介绍如何计算，我们已知

$$\begin{aligned} \hat{h}[n]&=h[n] w[n] \\ w[n]&=\left\{\begin{array}{ll} 1 & |n| \leq N \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right. \end{aligned}$$

我们的目标是计算

$$\hat{H}\left(e^{j \omega}\right)$$

事实上我们有如下定理：

$$\begin{aligned} \text { DTFT }\{(x * y)[n]\} &=X\left(e^{j \omega}\right) Y\left(e^{j \omega}\right) \\ \text { DTFT }\{x[n] y[n]\} &=(X * Y)\left(e^{j \omega}\right) \end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} (X * Y)\left(e^{j \omega}\right) &=\left\langle X^{*}\left(e^{j \sigma}\right), Y\left(e^{j(\omega-\sigma)}\right)\right\rangle \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(e^{j \sigma}\right) Y\left(e^{j(\omega-\sigma)}\right) d \sigma \end{aligned}$$

为了证明

$$\text { DTFT }\{x[n] y[n]\} =(X * Y)\left(e^{j \omega}\right)$$

我们只要证明

$$\text { IDTFT }\left\{(X * Y)\left(e^{j \omega}\right)\right\}=x[n] y[n]$$

直接利用定义即可：

$$\begin{aligned} \operatorname{IDTFT}\left\{(X * Y)\left(e^{j \omega}\right)\right\} &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}(X * Y)\left(e^{j \omega}\right) e^{j \omega n} d \omega \\ &=\frac{1}{(2 \pi)^{2} } \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(e^{j \sigma}\right) Y\left(e^{j(\omega-\sigma)}\right) e^{j \omega n} d \sigma d \omega \\ &=\frac{1}{(2 \pi)^{2} } \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(e^{j \sigma}\right) Y\left(e^{j(\omega-\sigma)}\right) e^{j \sigma n} e^{j(\omega-\sigma) n} d \sigma d \omega \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(e^{j \sigma}\right) e^{j \sigma n} d \sigma \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} Y\left(e^{j(\omega-\sigma)}\right) e^{j(\omega-\sigma) n} d \omega \\ &=x[n] y[n] \end{aligned}$$

频率采样

• 绘制所需的频率响应$ H \left(e ^ {j \omega} \right)$
• 在$ \omega_ {k} =(2 \pi / M)k $处取$ M $个值
• 计算IDFT
• 使用脉冲响应$ \hat {h} [n] $

实现滤波器

常系数差分方程(CCDE)

我们研究的对象为线性时不变系统，所以系统只涉及加法，常数乘法以及延迟，所以输出和输出的关系如下：

$$\sum_{k=0}^{N-1} a_{k} y[n-k]=\sum_{k=0}^{M-1} b_{k} x[n-k]$$

备注：$M$个输入和$N$个输出。

$z$-变换

定义$x[n]$的$z$变换为

$$\mathcal{Z}\{ x[n]\}=X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}, \quad z \in \mathbb{C}$$

不难看出

$$\left.X(z)\right|_{z=e^{j \omega} }=\text{DTFT}\{x[n]\}$$

基本性质

线性性：

$$\mathcal{Z}\{\alpha x[n]+\beta y[n]\}=\alpha X(z)+\beta Y(z)$$

时移性：

$$\mathcal{Z}\{x[n-N]\}=z^{-N} X(z)$$

系统转移函数

求解CCDE

对CCDE每一项作用$\mathcal Z$变换得到

$$Y(z) \sum_{k=0}^{N-1} a_{k} z^{-k}=X(z) \sum_{k=0}^{M-1} b_{k} z^{-k}$$

对比（$H$为响应函数）

$$Y(z)=H(z) X(z)$$

我们得到

$$H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M-1} b_{k} z^{-k} }{\sum_{k=0}^{N-1} a_{k} z^{-k} }$$

令$z=e^{j\omega}$即可得到频率响应。

应用

考虑Leaky Integrator

$$y[n]=(1-\lambda) x[n]+\lambda y[n-1]$$

取$\mathcal Z$变换得到

$$Y(z)=(1-\lambda) X(z)+\lambda z^{-1} Y(z)$$

所以

$$H(z)=\frac{(1-\lambda)}{1-\lambda z^{-1} }$$

收敛区域和系统稳定性

收敛域(ROC)

考虑LTI系统的转移函数

$$H(z)=\frac{b_{0}+b_{1} z^{-1}+\ldots+b_{M-1} z^{-(M-1)} }{a_{0}+a_{1} z^{-1}+\ldots+a_{N-1} z^{-(N-1)} }$$

它总能被分解为

$$H(z)=C \frac{\prod_{n=1}^{M-1}\left(1-z_{n} z^{-1}\right)}{\prod_{n=1}^{N-1}\left(1-p_{n} z^{-1}\right)}$$

• $z_n$：转移函数的零点
• $p_n$：转移函数的极点
• 和ROC有关的只有极点
• ROC从接触模长最大的圆开始往外延伸

注意到

$$\left.H(z)\right|_{|z|=1}<\infty \Longleftrightarrow \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty \Longleftrightarrow \text{BIBO stability}$$

所以系统稳定当且仅当ROC包含单位圆。

来看两个具体例子，图中点表示零点，叉表示极点。

稳定系统：

不稳定系统：

直观的滤波器

共振器

• 用于检测给定频率的正弦波的存在
• 在通信系统和电话（DTMF）中有用
• 想法：改变Leaky Integrator的通带！

响应函数：

$$\begin{aligned} H(z) &=\frac{G_{0} }{\left(1-p z^{-1}\right)\left(1-p^{*} z^{-1}\right)} \\ p &=\lambda e^{j \omega_{0} } \end{aligned}$$

所以系统为

$$y[n]=G_{0} x[n]-a_{1} y[n-1]-a_{2} y[n-2]$$

将$p$代入可得

$$\begin{array}{l} a_{1}=2 \lambda \cos \omega_{0} \\ a_{2}=-|\lambda|^{2} \end{array}$$

图示如下：

其中参数为$\lambda=0.9, \omega_{0}=\pi / 3$

DC notch

DC removal

DC-balanced的信号有如下特点：

$$\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^{N} x[n]=0$$

DC notch

DC notch的作用是使得不是满足DC-balanced的信号满足DC-balanced，

其响应函数为

$$\begin{array}{c} H(z)=1-z^{-1} \end{array}$$

所以系统为

$$y[n]=x[n]-x[n-1]$$

图示如下：

Hum removal

Hum removal是指去除特定频率，其响应函数为

$$H(z)=\frac{\left(1-e^{j \omega_{0} } z^{-1}\right)\left(1-e^{-j \omega_{0} } z^{-1}\right)}{\left(1-\lambda e^{j \omega_{0} } z^{-1}\right)\left(1-\lambda e^{-j \omega_{0} } z^{-1}\right)}$$

对于$\lambda=0.95$，图示如下：